İçerik
Analizde yaptığınız önemli işlemlerden biri türev bulmak. Bir fonksiyonun türevine, o fonksiyonun değişim oranı da denir. Örneğin, eğer x (t) herhangi bir t zamanında bir arabanın konumu ise, o zaman dx / dt yazılan x'in türevi arabanın hızıdır. Ayrıca, türev, bir fonksiyonun grafiğine teğet bir çizginin eğimi olarak görselleştirilebilir. Teorik düzeyde, matematikçiler bu şekilde türev buluyor. Uygulamada, matematikçiler temel kurallar ve arama tabloları kullanırlar.
Bir Eğim Olarak Türev
Bir çizginin iki nokta arasındaki eğimi yükselme veya y değerinde koşuya bölünen fark veya x değerindeki farktır. Bir fonksiyonun y (x) 'nin belirli bir x değeri için eğimi, noktadaki fonksiyona teğet olan bir çizginin eğimi olarak tanımlanır. Eğimi hesaplamak için nokta ile yakındaki bir nokta arasında bir çizgi çizersiniz, burada h çok küçük bir sayıdır. Bu satır için, x değerinde çalıştırma veya değişiklik h, ve y değerinde yükselme veya değişiklik ise y (x + h) - y (x) olur. Sonuç olarak, noktadaki y (x) eğimi yaklaşık olarak / = / saate eşittir. Eğimi tam olarak elde etmek için, h küçüldükçe eğim değerini, sıfıra gittiği “limite” göre hesaplarsınız. Bu şekilde hesaplanan eğim, y '(x) veya dy / dx olarak yazılan y (x) türevidir.
Güç Fonksiyonunun Türevi
Y'nin a'nın gücüne x'e eşit olduğu fonksiyonların türevlerini hesaplamak için eğim / limit yöntemini kullanabilirsiniz veya y (x) = x ^ a. Örneğin, eğer y, x küplenmişse, y (x) = x ^ 3 ise, dy / dx, h / / h sıfıra giderken sınırdır. Genişletme (x + h) ^ 3, / h değerini verir; bu, h'ye bölündükten sonra 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 değerine düşer. H sıfıra giderken, içinde h bulunan tüm terimler de sıfıra gider. Böylece, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Bunu 3 dışındaki değerler için yapabilirsiniz ve genel olarak d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1) olduğunu görebilirsiniz.
Güç Serisinden Türev
Sonsuz sayı terimlerinin toplamı olan ve her biri C (n) x ^ n, x'in bir değişken olduğu, n'nin bir tamsayı olduğu ve C (nin) olduğu bir dizi güç işlevi olarak adlandırılan birçok işlev yazılabilir. n) n'nin her değeri için belirli bir sayıdır. Örneğin, sinüs fonksiyonu için güç serileri Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ... olup, burada “...”, devam eden terimler anlamına gelir. sonsuzluğa. Bir işlevin güç serisini biliyorsanız, işlevin türevini hesaplamak için güç x ^ n türevini kullanabilirsiniz. Örneğin, Sin (x) türevi, Cos (x) için güç serisi olan 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ... 'ya eşittir.
Tablolardan Türevler
X ^ a gibi güçler, üstel fonksiyonlar, log fonksiyonları ve trig fonksiyonları gibi temel fonksiyonların türevleri, eğim / sınır yöntemi, güç serisi yöntemi veya diğer yöntemler kullanılarak bulunur. Bu türevler daha sonra tablolarda listelenmiştir. Örneğin, Sin (x) türevinin Cos (x) olduğunu görebilirsiniz. Karmaşık fonksiyonlar, temel fonksiyonların kombinasyonları olduğunda, aynı zamanda tablolarda verilen zincir kuralı ve ürün kuralı gibi özel kurallara ihtiyacınız vardır. Örneğin, Sin (x ^ 2) türevinin 2xCos (x ^ 2) olduğunu bulmak için zincir kuralını kullanırsınız. XSin (x) türevinin xCos (x) + Sin (x) olduğunu bulmak için ürün kuralını kullanırsınız. Tabloları ve basit kuralları kullanarak, herhangi bir işlevin türevini bulabilirsiniz. Ancak bir işlev son derece karmaşık olduğunda, bilim adamları bazen yardım için bilgisayar programlarına başvururlar.