İçerik
Matematikte, bazen işlevlerin lineer anlamda birbirinden bağımsız veya bağımlı olup olmadığını kanıtlama ihtiyacı ortaya çıkmaktadır. Doğrusal bağımlı iki fonksiyonunuz varsa, bu fonksiyonların denklemlerini grafik çizmek örtüşen noktalara neden olur. Bağımsız denklemli fonksiyonlar, işaretlendiğinde üst üste gelmez. İşlevlerin bağımlı veya bağımsız olup olmadığını belirleme yöntemlerinden biri, işlevler için Wronskian'ı hesaplamaktır.
Wronskian Nedir?
İki veya daha fazla fonksiyonun Wronskian'ı, determinant olarak bilinen, matematiksel nesneleri karşılaştırmak ve bunlarla ilgili bazı gerçekleri kanıtlamak için kullanılan özel bir fonksiyondur. Wronskian'da, determinant, iki veya daha fazla doğrusal fonksiyon arasında bağımlılığı veya bağımsızlığı kanıtlamak için kullanılır.
Wronskian Matrisi
Wronskian'ı doğrusal fonksiyonlar için hesaplamak için, fonksiyonların hem fonksiyonlarını hem de türevlerini içeren bir matris içinde aynı değerde çözülmesi gerekir. Bunun bir örneği W (f, g) (t) = | ff((tt)) gg((tt)) Wronskian'e sıfırdan (t) daha büyük olan tek bir değer için çözülen iki işlev (f ve g) sağlayan | Matrisin üst satırında iki f (t) ve g (t) fonksiyonunu ve alt satırdaki f (t) ve g (t) türevlerini görebilirsiniz. Wronskian'ın daha büyük setler için de kullanılabileceğini unutmayın. Örneğin, bir Wronskian ile üç işlevi test ederseniz, o zaman f (t), g (t) ve h (t) işlevleri ve türevleriyle bir matris yerleştirebilirsiniz.
Wronskian'ı Çözmek
Bir matriste düzenlenmiş fonksiyonlara sahip olduğunuzda, her bir fonksiyonu diğer fonksiyonun türeviyle çarpın ve ilk değeri ikinciden çıkarın. Yukarıdaki örnekte, bu size W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t) verir. Son cevap sıfıra eşitse, bu iki fonksiyonun bağımlı olduğunu gösterir. Cevap sıfırdan farklı bir şeyse, işlevler bağımsızdır.
Wronskian Örneği
Bunun nasıl çalıştığı hakkında daha iyi bir fikir vermek için, f (t) = x + 3 ve g (t) = x - 2 olduğunu varsayalım. T = 1 değerini kullanarak, işlevleri f (1) = olarak çözebilirsiniz. 4 ve g (1) = -1. Bunlar 1 eğimli temel doğrusal fonksiyonlar olduğundan, hem f (t) hem de g (t) 'nin türevleri 1'e eşittir. Değerlerinizi çarpmakla W (f, g) (1) = (4 + 1)' e verir. - (-1 + 1), 5'lik bir sonuç verir. Doğrusal fonksiyonların her ikisi de aynı eğime sahip olsalar da, noktaları birbirleriyle örtüşmemeleri nedeniyle bağımsızdırlar. Eğer f (t) 4 yerine -1 sonucunu üretseydi, Wronskian bağımlılığı belirtmek yerine sıfır sonucunu verirdi.