İçerik
- Üstel Fonksiyonlar Neden Önemli?
- Bir Çift Noktadan Grafiğe
- X ekseni üzerinde bir nokta
- X eksenindeki hiçbir nokta
- Gerçek Dünyadan Bir Örnek
Belirli bir üstel eğriye düşen iki nokta biliyorsanız, bu üsleri kullanarak genel üstel işlevini çözerek eğriyi tanımlayabilirsiniz. Uygulamada bu, y = x denklemindeki y ve x noktalarının ikame edilmesi anlamına gelir.x. Noktalardan birinin x değeri 0 ise prosedür daha kolaydır, bu, noktanın y ekseninde olduğu anlamına gelir. Eğer hiçbir nokta sıfır bir x değerine sahip değilse, x ve y için çözme işlemi biraz daha karmaşıktır.
Üstel Fonksiyonlar Neden Önemli?
Birçok önemli sistem üstel büyüme ve bozulma modellerini takip eder. Örneğin, bir kolonideki bakteri sayısı genellikle üssel olarak artar ve nükleer bir olayın ardından atmosferdeki ortam radyasyonu genellikle üssel olarak azalır. Veri alarak ve bir eğri çizerek, bilim adamları tahminlerde bulunmak için daha iyi bir pozisyondalar.
Bir Çift Noktadan Grafiğe
İki boyutlu bir grafikteki herhangi bir nokta, x'in başlangıçtaki yatay mesafeyi tanımladığı ve y'nin dikey mesafeyi temsil ettiği, genellikle (x, y) biçiminde yazılan iki sayı ile temsil edilebilir. Örneğin, nokta (2, 3) y ekseninin sağındaki iki birim ve x ekseninin üzerindeki üç birimdir. Öte yandan, nokta (-2, -3) y ekseninin solundaki iki birimdir. ve x ekseninin altında üç birim.
İki puanın varsa, (x1, y1) ve (x2, y2), bu noktalardan geçen üstel işlevi, bunları y = ab denklemiyle değiştirerek tanımlayabilirsiniz.x ve a ve b için çözme. Genel olarak, bu denklem çiftlerini çözmelisiniz:
y1 = abx1 ve y2 = abx2, .
Bu formda matematik biraz karmaşık görünüyor, ancak birkaç örnek yaptıktan sonra daha az görünüyor.
X ekseni üzerinde bir nokta
Eğer x değerlerinden biriyse - x1 - 0, işlem çok basit hale gelir. Örneğin, (0, 2) ve (2, 4) puanları için denklemin çözümü:
2 = ab0 ve 4 = ab2. Bunu bildiğimizden beri b0 = 1, ilk denklem 2 olur = a. İkinci denklemde a'nın değiştirilmesi 4 = 2b verir2b için sadeleştirdiğimiz2 = 2 veya b = yaklaşık 1.41'e eşit olan 2 karekökü. Tanımlama işlevi o zaman y = 2 (1,41)x.
X eksenindeki hiçbir nokta
Eğer hiçbiri x değeri sıfır değilse, denklem çiftini çözmek biraz daha zahmetlidir. Henochmath bu prosedürü açıklığa kavuşturmak için basit bir örnek olarak bize yürüyor. Örneğinde puan çiftini (2, 3) ve (4, 27) seçti. Bu, aşağıdaki denklem çiftlerini verir:
27 = ab4
3 = ab2
Birinci denklemi ikinciye bölerseniz,
9 = b2
yani b = 3. b'nin -3'e eşit olması mümkündür, ancak bu durumda, pozitif olduğunu varsayalım.
Bu değeri b yerine a almak için herhangi bir denklemde kullanabilirsiniz. İkinci denklemi kullanmak daha kolaydır, yani:
3 = a (3)2 3 = a9, a = 3/9 veya 1/3 olarak basitleştirilebilir.
Bu noktalardan geçen denklem; y = 1/3 (3)x.
Gerçek Dünyadan Bir Örnek
1910'dan bu yana, insan nüfusu artışı katlandı ve bir büyüme eğrisi çizerek, bilim adamları geleceği tahmin etmek ve planlamak için daha iyi bir konumdalar. 1910'da dünya nüfusu 1,75 milyar, 2010'da ise 6,87 milyar oldu. 1910'u başlangıç noktası olarak alarak, bu puan (0, 1.75) ve (100, 6.87) çiftlerini verir. İlk noktanın x değeri sıfır olduğundan, kolayca a bulabilirsiniz.
1.75 = ab0 veya a = 1.75. Bu değerin ikinci noktanınkilerle birlikte genel üstel denklem içine sokulması 6.87 = 1.75b üretir.100b'nin değerini 6.87 / 1.75 veya 3.93'ün yüzüncü kökü olarak verir. Böylece denklem olur y = 1.75 (3.93'ün yüzlerce kökü)x. Bunu yapmak için bir slayt kuralından daha fazlası olsa da, bilim adamları bu denklemi mevcut politikacıların uygun politikalar yaratmalarına yardımcı olmak için gelecekteki nüfus sayıları için kullanılır.