İçerik
Bir matematik veya fizik dersinde bir matris sunulduğunda, genellikle özdeğerlerini bulmanız istenir. Bunun ne anlama geldiği veya nasıl yapılacağından emin değilseniz, görev korkutucu ve işleri daha da kötüleştiren birçok kafa karıştırıcı terminolojiyi içerir. Bununla birlikte, matrislerin, özdeğerlerin ve özvektörlerin temellerini öğrenmeniz koşuluyla, kuadratik (veya polinom) denklemlerini çözmekte rahatsanız, özdeğerleri hesaplama süreci çok zor değildir.
Matrisler, Özdeğerler ve Özvektörler: Ne Demek?
Matrisler, A'nın genel bir matris adı için durduğu sayı dizileridir:
( 1 3 )
bir = ( 4 2 )
Her pozisyondaki sayılar değişkendir ve yerlerinde cebirsel ifadeler bile olabilir. Bu 2 × 2'lik bir matristir, ancak çeşitli boyutlarda gelirler ve her zaman eşit sayıda satır ve sütuna sahip olmazlar.
Matrislerle uğraşmak, sıradan sayılarla uğraşmaktan farklıdır ve bunları çarpma, bölme, toplama ve birbirlerinden çıkarma konusunda özel kurallar vardır. “Özdeğer” ve “özvektör” terimleri, matris ile ilgili iki karakteristik büyüklüğü ifade etmek için matris cebirinde kullanılır. Bu özdeğer sorunu, terimin ne anlama geldiğini anlamanıza yardımcı olur:
bir ∙ v = λ ∙ v
bir önceki gibi genel bir matristir, v bazı vektörlerdir ve λ karakteristik bir değerdir. Denklemlere bakın ve matrisi vektör ile çarptığınıza dikkat edin. vBunun etkisi, aynı vektörü sadece λ değeri ile çarpmaktır. Bu sıra dışı bir davranış ve vektörü kazanıyor v ve miktar λ özel isimleri: özvektör ve özdeğer. Bunlar matrisin karakteristik değerleridir, çünkü matrisin özvektör ile çarpılması, vektörü özdeğer faktörü ile çarpmadan ayırmadan değiştirir.
Özdeğerler Nasıl Hesaplanır?
Bir formdaki matris için özdeğer probleminiz varsa, özdeğer bulmak kolaydır (sonuç, sabit bir faktör - çarpım değeri ile çarpma hariç, orijinal ile aynı olan bir vektör olacaktır). Cevap, matrisin karakteristik denklemini çözerek bulunur:
det (bir – λben) = 0
Nerede ben matristen çapraz olarak geçen bir dizi diziden ayrı boş olan kimlik matrisidir. “Det”, genel bir matris için olan matrisin determinantını belirtir:
(a b)
bir = (cd)
Tarafından verilir
det bir = reklam –bc
Böylece karakteristik denklem şu anlama gelir:
(a - λ b)
det (bir – λben) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
Örnek bir matris olarak, tanımlayalım. bir gibi:
( 0 1 )
bir = (−2 −3 )
Yani bu demek oluyor ki:
det (bir – λben) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Λ için çözümler özdeğerlerdir ve siz bunu ikinci dereceden bir denklem gibi çözersiniz. Solüsyonlar λ = -1 ve λ = -2 dir.
İpuçları
Özvektör Bulma
Özvektörleri bulmak da benzer bir işlemdir. Denklemi kullanarak:
(bir – λ) ∙ v = 0
sırayla bulduğunuz özdeğerlerin her biriyle. Bu şu anlama gelir:
(a - λ b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(bir – λ) ∙ v = (cd - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Bunu sırayla her satırı göz önüne alarak çözebilirsiniz. Sadece oranına ihtiyacınız var v1 için v2Çünkü, sonsuz sayıda potansiyel çözüm olacak. v1 ve v2.