Öklid mesafesi, Öklid uzayındaki iki nokta arasındaki mesafedir. Öklid uzayı aslen Yunanlı matematikçi Euclid tarafından yaklaşık 300 B.C.E tarafından tasarlanmıştı. açılar ve mesafeler arasındaki ilişkileri incelemek. Bu geometri sistemi bugün hala kullanılmaktadır ve lise öğrencilerinin en sık çalıştıkları sistemdir. Öklid geometrisi, özellikle iki ve üç boyutlu boşluklara uygulanır. Ancak, daha yüksek dereceli boyutlara kolayca genelleştirilebilir.
Bir boyut için Öklid mesafesini hesaplayın. Bir boyuttaki iki nokta arasındaki mesafe, sadece koordinatları arasındaki farkın mutlak değeridir. Matematiksel olarak, bu | p1 - q1 | p1, ilk noktanın ilk koordinatıdır ve q1, ikinci noktanın ilk koordinatıdır. Mesafenin normalde sadece negatif olmayan bir değer olduğu kabul edildiğinden bu farkın mutlak değerini kullanırız.
İki boyutlu Öklid uzayında iki nokta P ve Q alın. P koordinatlarını (p1, p2) ve Q koordinatlarını (q1, q2) tanımlayacağız. Şimdi P ve Q uç noktalarına sahip bir çizgi parçası oluşturun. Bu çizgi parçası, bir dik üçgenin hipotenüsünü oluşturacaktır. Adım 1'de elde edilen sonuçları genişleterek, bu üçgenin bacaklarının uzunluklarının | p1 - q1 | ve | p2 - q2 |. İki nokta arasındaki mesafe daha sonra hipotenüsün uzunluğu olarak verilecektir.
2. Adımdaki hipotenüsün uzunluğunu belirlemek için Pisagor teoremini kullanın. Bu teorem, c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 olduğunu, burada c, bir dik üçgen hipotenüsünün uzunluğu ve a, b'nin diğerlerinin uzunlukları olduğunu belirtir. iki bacak. Bu bize c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2) verir. İki boyutlu boşlukta 2 nokta P = (p1, p2) ve Q = (q1, q2) arasındaki mesafe bu nedenle ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Adım 3'ün sonuçlarını üç boyutlu uzaya uzatın. P = (p1, p2, p3) ve Q = (q1, q2, q3) arasındaki mesafe daha sonra ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) şeklinde verilebilir. ^ 2) ^ (1/2).
Adım 4'teki çözümü, iki boyutta P = (p1, p2, ..., pn) ve Q = (q1, q2, ..., qn) arasındaki mesafe için n boyutunda genelleştirin. Bu genel çözüm, ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2) şeklinde verilebilir.