Polinomun Kökleri Nasıl Bulunur?

İçerik

• Kaç Kök?
• Uyarılar
• Faktoringe Göre Kök Bulma: Örnek 1
• Faktoringe Göre Kök Bulma: Örnek 2
• Grafiklere Göre Kök Bulma

Bir polinomun köklerine de sıfır denir, çünkü kökler x işlevin sıfıra eşit olduğu değerler. Aslında kökleri bulmak söz konusu olduğunda, emrinde birden fazla teknik var; faktoring, en sık kullanacağınız yöntemdir, ancak grafikleme de faydalı olabilir.

Kaç Kök?

Polinomun en yüksek dereceli terimini, yani en yüksek üs olan terimi inceleyin. Bu üs, polinomun kaç kökünün olacağıdır. Yani polinomunuzdaki en yüksek üs 2 ise, iki köklü olur; en yüksek üs 3 ise, üç köklü olur; ve bunun gibi.

Uyarılar

Faktoringe Göre Kök Bulma: Örnek 1

Kökleri bulmanın en çok yönlü yolu, polinomunuzu olabildiğince çarpanlara ayırmak ve ardından her terimi sıfıra eşitlemektir. Birkaç örnek takip ettikten sonra bu çok daha anlamlı olur. Basit polinomu düşünün x² - 4_x: _

Kısa bir inceleme faktörü yapabileceğinizi gösterir x polinomun her iki teriminden hangisi size verir?

x(x – 4)

Her terimi sıfıra ayarlayın. Bu iki denklem çözme anlamına gelir:

x = 0 sıfıra ayarlanmış ilk terimdir ve

x - 4 = 0, sıfıra ayarlanmış ikinci terimdir.

Zaten ilk dönem için bir çözüme sahipsiniz. Eğer x = 0, ardından tüm ifade sıfıra eşittir. Yani x = 0, polinomun köklerinden veya sıfırlarından biridir.

Şimdi ikinci terimi düşün ve çöz x. Her iki tarafa da 4 eklerseniz:

x - 4 + 4 = 0 + 4;

x = 4. Eğer öyleyse x = 4 sonra ikinci faktör sıfıra eşittir, yani tüm polinom da sıfıra eşittir.

Orijinal polinom ikinci dereceden olduğundan (en yüksek üs iki idi), bu polinom için sadece iki olası kök olduğunu biliyorsunuz. İkisini zaten buldun, o yüzden tek yapman gereken onları listelemek.

x = 0, x = 4

Faktoringe Göre Kök Bulma: Örnek 2

Heres, yol boyunca bazı fantezi cebirlerini kullanarak, faktoring yaparak kökleri bulma konusunda bir örnek daha. Polinomu düşünün x⁴ - 16. Üstlerine hızlıca bakmak, bu polinom için dört kök olması gerektiğini gösterir; Şimdi onları bulmak için zamanı.

Bu polinomun kareler arasındaki fark olarak yeniden yazılabileceğini fark ettiniz mi? Yani yerine x⁴ - 16, sende:

(x²)² – 4²

Hangi, kareler arasındaki fark için formülü kullanarak, aşağıdakileri etkiler:

(x² – 4)(x² + 4)

İlk terim, yine, kareler farkıdır. Dolayısıyla, terimi sağda daha fazla faktör olarak belirleyemeseniz de, terimi solda bir adım daha fazla faktörlendirebilirsiniz:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

Şimdi sıfırları bulma zamanı. Hızlı bir şekilde netleşirse x = 2, ilk faktör sıfıra eşit olacak ve böylece tüm ifade sıfıra eşit olacaktır.

Benzer şekilde, eğer x = -2, ikinci faktör sıfıra eşit olacak ve böylece tüm ifade de öyle olacaktır.

Yani x = 2 ve x = -2, bu polinomun hem sıfırları hem de kökleridir.

Peki ya bu son terim? "2" üssüne sahip olduğundan, iki köklü olması gerekir. Ama bu ifadeyi alıştığınız gerçek sayıları kullanarak etkileyemezsiniz. Hayali sayılar veya tercih ederseniz karmaşık sayılar adı verilen çok gelişmiş bir matematiksel kavram kullanmanız gerekir. Bu, şu anki matematik uygulamanızın kapsamının çok ötesinde, bu yüzden şimdilik iki gerçek kök (2 ve -2) ve tanımsız bırakacağınız iki hayali kökünüz olduğunu belirtmeniz yeterli.

Grafiklere Göre Kök Bulma

Ayrıca grafikleri çizerek kökleri bulabilir veya en azından tahmin edebilirsiniz. Her kök, fonksiyon grafiğinin geçtiği bir noktayı temsil eder. x eksen. Yani, çizgiyi çizip sonra x çizginin geçtiği yeri koordine eder x Eksen, tahmin edilen ekleyebilirsiniz x Bu puanların değerleri denkleminize gelir ve bunları doğru alıp almadığınızı kontrol edin.

Polinom için çalıştığın ilk örneği ele alalım. x² - 4_x_. Dikkatlice çıkarırsanız, çizginin çizgiyi geçtiğini göreceksiniz. x ekseni x = 0 ve x = 4. Eğer bu değerlerin her birini orijinal denklemde girerseniz, şunu alırsınız:

0² - 4 (0) = 0, yani x = 0 bu polinom için geçerli bir sıfır veya kök oldu.

4² - 4 (4) = 0, yani x = 4 aynı zamanda bu polinom için geçerli bir sıfır veya köküdür. Polinom derece 2 olduğundan, iki kök bulduktan sonra bakmayı bırakabileceğinizi biliyorsunuz.