İçerik
- TL; DR (Çok Uzun; Okumadı)
- Karmaşık Sayı Nedir?
- Kompleks Sayılarla Cebir İçin Temel Kurallar
- Karmaşık Sayıları Bölme
- Karmaşık Sayıların Basitleştirilmesi
Cebir sıklıkla ifadeleri basitleştirmeyi içerir, ancak bazı ifadeler diğerlerinden daha fazla kafa karıştırıcıdır. Karmaşık sayılar, olarak bilinen miktarı içerir ben, mülkle birlikte “hayali” bir sayı ben = √ − 1. Basit bir şekilde karmaşık bir sayı içeren bir ifade yapmanız gerekiyorsa, bu göz korkutucu görünebilir, ancak temel kuralları öğrendiğinizde çok basit bir işlemdir.
TL; DR (Çok Uzun; Okumadı)
Karmaşık sayılarla cebir kurallarını izleyerek karmaşık sayıları basitleştirin.
Karmaşık Sayı Nedir?
Karmaşık sayılar, bunların dahil edilmeleriyle tanımlanır. ben eksi birinin karekökü olan terim. Temel düzey matematikte, negatif sayının kare kökleri gerçekten yoktur, ancak bazen cebir problemlerinde ortaya çıkarlar. Karmaşık bir sayının genel formu yapılarını gösterir:
z = bir + bi
Nerede z karmaşık sayıyı etiketler, bir herhangi bir sayıyı (“gerçek” kısım olarak adlandırılır) temsil eder ve b her ikisi de pozitif veya negatif olabilecek başka bir sayıyı (“hayali” olarak adlandırılır) temsil eder. Yani örnek bir karmaşık sayı:
z = 2 −4_i_
Negatif sayıların tüm karekökü katlarının katları ile temsil edilebildiğinden ben, tüm karmaşık sayılar için form budur. Teknik olarak, normal bir sayı sadece karmaşık bir sayının özel bir durumunu açıklar. b = 0, bu nedenle tüm sayılar karmaşık sayılabilir.
Kompleks Sayılarla Cebir İçin Temel Kurallar
Karmaşık sayıları eklemek ve çıkarmak için, gerçek ve hayali kısımları ayrı ayrı eklemek veya çıkarmak yeterlidir. Yani karmaşık sayılar için z = 2 - 4_i_ ve w = 3 + 5_i_, toplam:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)ben
= 5 + 1_i_ = 5 + ben
Sayıların çıkarılması aynı şekilde çalışır:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)ben
= −1 - 9_i_
Çarpma işlemi karmaşık sayılarla basit bir işlemdir, çünkü bunu hatırlamanız gerekmeden normal çarpma gibi çalışır. ben2 = −1. Yani 3_i_ × −4_i_ hesaplamak için:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Ama o zamandan beri ben2= −1, sonra:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Tam karmaşık sayılarla (kullanarak z = 2 - 4_i_ ve w = 3 + 5_i_ tekrar), sıradaki sayılarla yaptığınız gibi onları çarpın (bir + b) (c + d), “ilk, iç, dış, son” (FOIL) yöntemini kullanarak,bir + b) (c + d) = AC + İSA'DAN önce + ilan + bd. Hatırlamanız gereken tek şey, herhangi bir örneğini basitleştirmek ben2. Yani örneğin:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 - 12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Karmaşık Sayıları Bölme
Kompleks sayıların bölünmesi, payın paydasının ve paydasının, paydayın kompleks konjugatı ile çarpılmasını içerir. Karmaşık eşlenik, karmaşık sayının imzalı kısmı ters çevrilmiş hayali kısmı olan versiyonu anlamına gelir. İçin böylece z = 2 - 4_i_, karmaşık eşlenik z = 2 + 4_i_ ve w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Sorun için:
z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)
Gereken eşlenik w*. Pay ve paydayı aşağıdakilere göre bölün:
z / w = (2 - 4_i_) (3 - 5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
Sonra önceki bölümdeki gibi çalışırsınız. Pay verir:
(2 - 4_i_) (3 - 5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
Ve payda verir:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Bu şu anlama gelir:
z / w = (14 - 22_i_) / 34
= 14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Karmaşık Sayıların Basitleştirilmesi
Karmaşık ifadeleri basitleştirmek için yukarıdaki kuralları kullanın. Örneğin:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ben)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ben))
Bu, payda ekleme kuralı, paydadaki çarpma kuralı kullanılarak ve bölmeyi tamamlayarak basitleştirilebilir. Pay için:
(4 + 2_i_) + (2 - ben) = 6 + ben
Payda için:
(2 + 2_i _) (2+ ben) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Bunları tekrar yerine koymak şunları verir:
z = (6 + ben) / (2 + 6_i_)
Her iki parçanın payda eşleniği ile çarpılması aşağıdakilere yol açar:
z = (6 + ben) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18 - 34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Yani bu demek oluyor ki z aşağıdaki gibi basitleştirir:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - ben)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ben)) = 9/20 −17_i_ / 20