Bir kare alıp iki çapraz çizgi çizseydiniz, merkezden geçip dört dik üçgen oluşturacaklardı. İki köşegen 90 derece geçiyor. Her biri küpün bir köşesinden karşıt köşesine doğru koşan ve ortasından geçen bir küpün iki köşegeninin aynı zamanda dik açılardan geçeceğini sezgisel olarak tahmin edebilirsiniz. Yanılıyorsun. Bir küpteki iki köşegenin birbirini geçtiği açıyı belirlemek, ilk bakışta göründüğünden biraz daha karmaşıktır, ancak geometri ve trigonometri prensiplerini anlamak için büyük pratik yapar.
Bir kenarın uzunluğunu bir birim olarak tanımlayın. Tanım olarak, küp üzerindeki her kenar bir birimin aynı uzunluğuna sahiptir.
Bir köşeden, aynı yüzdeki karşı köşeye kadar uzanan köşegenin uzunluğunu belirlemek için Pisagor teoremini kullanın. Netlik için buna "kısa köşegen" deyin. Oluşturulan dik üçgenin her bir tarafı bir birimdir, bu nedenle diyagonal √2'ye eşit olmalıdır.
Pisagor teoremini kullanarak bir köşeden karşı köşenin karşı köşesine uzanan köşegen uzunluğunu belirleyin. Buna “uzun diyagonal” diyelim. Bir tarafı 1 ünite, diğeri “kısa diyagonal” √2 ünite eşit bir dik üçgene sahipsiniz. Hipotenüsün karesi, tarafların karelerinin toplamına eşittir, bu yüzden hipotenüs √3 olmalıdır. Küpün bir köşesinden diğer köşeye kadar uzanan her köşegen units3 birim uzunluğundadır.
Küp ortasından geçen iki uzun köşegenleri temsil etmek için bir dikdörtgen çizin. Kesişimlerinin açısını bulmak istiyorsunuz. Bu dikdörtgen 1 birim yüksekliğinde ve 2 birim genişliğinde olacaktır. Uzun köşegenler, birbirini bu dikdörtgenin ortasından ikiye böler ve iki farklı üçgen türü oluşturur. Bu üçgenlerden biri bir birime eşit, diğer iki kenara /3 / 2 (bir uzun diyagonal uzunluğun yarısı) eşit. Diğer tarafta √3 / 2'ye eşit iki taraf vardır, ancak diğer tarafı √2'ye eşittir. Sadece üçgenlerden birini analiz etmeniz gerekiyor, o yüzden ilkini alın ve bilinmeyen açı için çözün.
Bu üçgenin bilinmeyen açısını çözmek için c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C trigonometrik formülünü kullanın. C = 1 ve hem a hem de b, √3 / 2'ye eşittir. Bu değerleri denklem içine takarak, bilinmeyen açınızın kosinüsünün 1/3 olduğunu belirleyeceksiniz. Ters kosinüsün 1 / 3'ü 70,5 derecelik bir açı veriyor.