İstatistiklerde, bir popülasyondan rastgele veri örneklemesi çoğu zaman, orta zilin zirvesine ortalandığında zil biçimli bir eğrinin üretimine yol açar. Bu normal bir dağılım olarak bilinir. Merkezi limit teoremi, örneklerin sayısı arttıkça, ölçülen ortalamanın normal olarak popülasyon ortalaması hakkında dağılma eğiliminde olduğunu ve standart sapmanın daralmakta olduğunu belirtir. Merkezi limit teoremi, bir popülasyon içinde belirli bir değer bulma olasılığını tahmin etmek için kullanılabilir.
Örnekleri toplayın ve ardından ortalamayı belirleyin. Örneğin, Amerika Birleşik Devletleri'nde bir erkeğin desilitre veya üstü başına 230 miligram kolesterol seviyesine sahip olma olasılığını hesaplamak istediğinizi varsayalım. 25 kişiden örnek toplayarak ve kolesterol seviyelerini ölçerek başlayacağız. Verileri topladıktan sonra, örneğin ortalamasını hesaplayın. Ortalama, ölçülen her değerin toplanması ve toplam örnek sayısına bölünmesi ile elde edilir. Bu örnekte, ortalamanın desilitre başına 211 miligram olduğunu varsayalım.
"Yayılma" verilerinin ölçüsü olan standart sapmayı hesaplayın. Bu birkaç kolay adımda yapılabilir:
Bu örnekte, standart sapmanın desilitre başına 46 miligram olduğunu varsayalım.
Standart sapmayı, toplam numune sayısının kareköküne bölerek standart hatayı hesaplayın:
Standart hata = 46 / sqrt25 = 9.2
Normal dağılımın bir taslağını çizin ve uygun olasılıkta gölgeleyin. Örneği takiben, bir erkeğin desilitre veya üzeri başına 230 miligram kolesterol seviyesine sahip olma olasılığını bilmek istiyorsunuz. Olasılığı bulmak için, desilitre başına ortalama 230 miligramdan kaç tane standart hata olduğunu öğrenin (Z değeri):
Z = 230-221 / 9.2 = 2.07
Ortalamanın üstünde 2.07 standart hata değeri elde etme olasılığını araştırın. Ortalamanın 2.07 standart sapması içinde bir değer bulma olasılığını bulmanız gerekiyorsa, z pozitif olur. Eğer ortalamanın 2.07 standart sapmasının ötesinde bir değer bulma olasılığını bulmanız gerekiyorsa, o zaman z negatiftir.
Standart bir normal olasılık tablosunda z-değerini araştırın. Sol taraftaki ilk sütun, tam sayıyı ve z değerinin ilk ondalık basamağını gösterir. Üstteki satır, z değerinin üçüncü ondalık yerini gösterir. Örneği takiben, z-değerimiz -2.07 olduğundan, önce sol sütunda -2.0'ı bulun, ardından 0.07 girişi için üst satırı tarayın. Bu sütun ve satırların kesiştiği nokta olasılıktır. Bu durumda, tablodan okunan değer 0,0192'dir ve bu nedenle desilitre veya üstünde 230 miligram kolesterol seviyesine sahip bir erkek bulma olasılığı yüzde 1,92'dir.