CG Nasıl Hesaplanır?

İçerik

• Ağırlık Merkezi Hakkında Nasıl Yazılır?
• Üçgenin CG'si Nasıl Hesaplanır?
• Bir Dikdörtgen için Ağırlık Merkezi Formülü
• Yerçekimi Denklem Merkezi
• Ağırlık Merkezini Bulma Püf Noktaları

Ağırlık merkezini tartışmadan önce, birkaç parametre üstlenelim. Birincisi, uzayda olmayan bir yerde değil, Dünya yüzeyinde olan bir nesneyle uğraşıyorsunuz. Ve ikincisi, nesnenin oldukça küçük olması - yani, Dünya'ya park etmiş, çıkarılmayı bekleyen bir uzay gemisi değil.Tüm bu dünya dışı etkiler ortadan kalktıktan sonra, nispeten basit bir formül kullanarak geometrik nesneler için ağırlık merkezini hesaplamak için ince bir konumdasınızdır - ve aslında, bu koşullar nedeniyle, sadece ayarlanmış olan koşullar nedeniyle, ağırlık merkezini bulmak için aynı formülü kullanacaksınız. kütlenin merkezini bulmak için.

Ağırlık Merkezi Hakkında Nasıl Yazılır?

İki boyutlu bir düzlemde ağırlık merkezi genellikle koordinatlarla belirtilir (x_cgy_cg) veya bazen değişkenler tarafından x ve y üzerlerinde bir çubukla. Ayrıca, "ağırlık merkezi" terimi bazen cg olarak kısaltılır.

Üçgenin CG'si Nasıl Hesaplanır?

Matematik veya fizik kitabınızda, belirli rakamların denge merkezini belirlemek için genellikle grafikler bulunur. Ancak bazı genel geometrik şekiller için, bu ağırlık merkezinin şekillerini bulmak için uygun ağırlık merkezini kullanabilirsiniz.

Üçgenler için ağırlık merkezi, üç medyanın da kesiştiği noktada oturur. Üçgenin bir köşesinden başlayıp diğer tarafın orta noktasına düz bir çizgi çizerseniz, bu bir medyan demektir. Diğer iki köşe için de aynısını yapın ve üç medyanın da kesiştiği nokta, ağırlık merkezinin üçgenleridir.

Ve elbette, bunun için bir formül var. Üçgenlerin ağırlık merkezinin koordinatları: (x_cgy_cg), böylece koordinatlarını bulabilirsiniz:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Nerede (x₁y₁), (x₂y₂) ve (x₃y₃) üçgenlerin koordinatları üç köşelidir. Hangi köşeye hangi numara atanacağını seçersiniz.

Bir Dikdörtgen için Ağırlık Merkezi Formülü

Bir üçgenin ağırlık merkezini bulmak için, sadece x koordinatlarının değerini, sonra y koordinatlarının değerini ortaladığınızı ve iki sonucu ağırlık merkezinizin koordinatları olarak kullandığınızı fark ettiniz mi?

Bir dikdörtgenin ağırlık merkezini bulmak için aynı şeyi yaparsınız. Ancak hesaplamalarınızı daha da kolaylaştırmak için, dikdörtgenin karesi bir Kartezyen koordinat düzlemine (bu nedenle açılı olarak ayarlanmamış) yönlendirildiğini ve sol alt köşesinin grafiğin kökeninde olduğunu varsayalım. Bu durumda, bulmak için (x_cgy_cg) bir dikdörtgen için hesaplamanız gereken tek şey:

x_cg = genişlik ÷ 2

y_cg = yükseklik ÷ 2

Dikdörtgeni koordinat düzleminin orijinine yerleştirmek istemiyorsanız veya herhangi bir nedenden ötürü koordinat eksenleri ile tam olarak aynı değilse, tüm x-koordinatlarını ortalamalandırmak için bu biraz daha korkutucu görünümlü, ancak yine de etkili bir formülle karşılaşabilirsiniz. x değerini bulmak için_cg, ve y değerini bulmak için tüm y koordinatlarının ortalaması_cg:

x_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Yerçekimi Denklem Merkezi

İlk olarak belirtilen tüm varsayımlara uyan bir şekil için ağırlık merkezini hesaplamanız gerekiyorsa (temel olarak, uzayda bulunan nesneler için ağırlık merkezini bularak gerçek bir roket bilimi yapmaya çalışamazsınız) az önce bahsedilen veya kitabınızın arkasındaki çizelgelere giren kategoriler? Daha sonra şeklinizi daha bilinen şekillere bölüp ortak kollektif merkezlerini bulmak için aşağıdaki denklemleri kullanabilirsiniz:

x_cg = (a₁x₁ + a₂x₂ +. . . + a_nx_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Ya da başka bir deyişle, x_cg Bölüm 1'in alanını x ekseni üzerindeki konumunun 2 katı olan bölgeye, 2 katı konumunun 2 katı olan bölgeye ekler, ve böylece tüm bölümlerin alan zamanlarının konumunu ekleyene kadar; daha sonra bu tutarın tamamını tüm bölümlerin toplam alanına bölün. O zaman y için de aynısını yapın.

S: Her bölümün alanını nasıl bulabilirim? Karmaşık veya düzensiz şeklinizi daha çok bilinen poligonlara bölmek, alanı bulmak için standart formüller kullanmanıza olanak sağlar. Örneğin, bu şekli dikdörtgen parçalara böldüyseniz, her bir parçanın alanını bulmak için uzunluk uzunluğu × genişlik kullanabilirsiniz.

S: Her bölümün "yeri" nedir? Her bir bölümün yeri, bu ağırlık merkezindeki bölümlerden uygun koordinattır. Yani sen istersen₂ (segment 2'nin yeri), aslında bu ağırlık merkezlerinin segmentleri için y koordinatını vermeniz gerekir. Yine, bu yüzden garip şekilli bir nesneyi daha bilinen şekillere bölüştürüyorsunuz, çünkü daha önce tartışılan formülleri kullanarak ağırlık merkezlerinin her bir şeklini bulabilir ve ardından uygun koordinatları çıkarabilirsiniz.

S: Şeklim koordinat düzleminde nereye gidiyor? Şeklinizin koordinat düzleminde nerede oturduğunu seçersiniz - cevaplarınızın ağırlık merkezinin aynı referans noktasına göre olacağını aklınızda bulundurun. Nesnenizi grafiğinizin ilk çeyreğine yerleştirmek en kolay yolu, alt kenarı x eksenine ve sol kenarı y eksenine bakacak şekilde yerleştirmek, böylece tüm x ve y değerlerinin pozitif olması, aynı zamanda yeterince küçük olması yönetilebilir.

Ağırlık Merkezini Bulma Püf Noktaları

Tek bir nesneyle ilgileniyorsanız, sezgi ve küçük bir mantık bazen ağırlık merkezini bulmak için tek ihtiyacınız olan şeydir. Örneğin, düz bir disk düşünürseniz, ağırlık merkezi diskin merkezi olacaktır. Bir silindirde, silindir eksenindeki orta noktasıdır. Bir dikdörtgen (veya kare) için, çapraz çizgilerin birleştiği nokta.

Burada bir model fark etmiş olabilirsiniz: Söz konusu nesnenin bir simetri çizgisi varsa, ağırlık merkezi bu çizgide olacaktır. Ve eğer birden fazla simetri eksenine sahipse, ağırlık merkezi bu eksenlerin kesiştiği yerde olacaktır.

Son olarak, gerçekten karmaşık bir nesne için ağırlık merkezini bulmaya çalışıyorsanız, iki seçeneğiniz vardır: En iyi matematik integrallerinizi çırpın (üniform olmayan bir kütle için ağırlık merkezini temsil eden üçlü bir integral için Kaynaklar'a bakın) veya verilerinizi bir amaç odaklı ağırlık merkezi hesaplayıcısına girin. (Bkz. Radyo kontrollü uçaklar için ağırlık merkezi hesap makinesi örneği için Kaynaklar.)