İçerik
- Faktör Nedir?
- En Büyük Ortak Faktörü Bulma: Birinci Yöntem
- En Büyük Ortak Faktörü Bulma: İkinci Yöntem
- Ortak Faktörlerle Kesirleri Basitleştirme
İki sayının en büyük ortak faktörünü veya GCF'yi bulmak, matematikteki birçok durumda, özellikle de kesirler basitleştirildiğinde söz konusudur. Bununla mücadele ediyorsanız ya da ortak paydalar buluyorsanız, ortak faktörleri bulmak için iki yöntem öğrenmek, yapmak üzere olduğunuz şeyi başarmanıza yardımcı olacaktır. İlk olarak, faktörlerin temelleri hakkında bilgi edinmek iyi bir fikirdir; o zaman, ortak faktörleri bulmak için iki yaklaşıma bakabilirsiniz. Son olarak, bir fraksiyonu basitleştirmek için bilginizi nasıl uygulayacağınıza bakabilirsiniz.
Faktör Nedir?
Faktörler, başka bir sayı üretmek için birlikte çarptığınız sayılardır. Örneğin, 2 ve 3, 6'nın faktörüdür, çünkü 2 × 3 = 6'dır. Benzer şekilde, 3 ve 3, 9'un faktörüdür, çünkü 3 × 3 = 9'dur. Bildiğiniz gibi, asal sayılar, başka hiçbir faktör içermeyen sayılardır. kendilerini ve 1. Yani 3 asal bir sayıdır, çünkü 3'ü bir cevap olarak vermek üzere çoğalabilen sadece iki tam sayı (tam sayı) 3 ve 1'dir. Aynı şekilde, 7 asal bir sayıdır ve 13 .
Bu nedenle, bir sayının “asal çarpanlara” bölünmesi genellikle yararlı olur. Bu, başka bir sayının asal sayı faktörlerinin tümünü bulmak anlamına gelir. Temel olarak sayıyı, iki sayının en büyük ortak faktörünü bulmak için yararlı bir adım olan ve aynı zamanda karekökleri basitleştirmek söz konusu olduğunda paha biçilmez olan temel yapı taşları haline getirir.
En Büyük Ortak Faktörü Bulma: Birinci Yöntem
İki sayının en büyük ortak faktörünü bulmak için en basit yöntem, her sayının tüm faktörlerini listelemek ve her ikisinin de paylaştığı en yüksek sayıyı aramaktır. 45 ve 60'ın en yüksek ortak faktörünü bulmak istediğinizi düşünün. İlk önce, 45 üretmek için çoğaltabileceğiniz farklı sayılara bakın.
Başlamanın en kolay yolu, bildiğiniz ikisiyle birlikte, asal bir sayı için bile işe yarayacak. Bu durumda, 1 × 45 = 45 biliyoruz, bu yüzden 1 ve 45'in 45'in faktörü olduğunu biliyoruz. Bunlar 45'in ilk ve son faktörüdür, bu yüzden oradan doldurabilirsiniz. Sonra, 2'nin bir faktör olup olmadığını hesaplayın. Bu kolaydır, çünkü herhangi bir çift sayı 2'ye bölünebilir ve tek sayı sayılmaz. Öyleyse 2'nin 45 faktörü olmadığını biliyoruz. Peki ya 3? 3'ün bir faktör olduğunu görebilmelisiniz, çünkü 3 × 15 = 45 (bunu yapmak için ne bildiğinizi her zaman öğrenebilirsiniz, örneğin, 3 × 12 = 36 ve bu üçlü size 45 yol açar.
Ardından, 4 bir 45 faktörü mü? Hayır - 11 × 4 = 44 biliyorsunuz, bu yüzden olamaz! Sonra, ya 5? Bu, başka bir kolay olandır, çünkü 0 veya 5 ile biten herhangi bir sayı 5 ile bölünebilir. Ve bununla, kolayca 5 × 9 = 45 değerini tespit edebilirsiniz. Fakat 6 iyi değil çünkü 7 × 6 = 42 ve 8 × 6 = 48. Bundan da 7 ve 8'in 45 faktör olmadığını görebilirsiniz. 9'un zaten olduğunu biliyoruz ve 10 ve 11'in faktör olmadığını görmek kolaydır. Bu işleme devam edin; 15'in bir faktör olduğunu fark edeceksiniz, başka bir şey yok.
Yani 45 faktörleri: 1, 3, 5, 9, 15 ve 45.
60 için, aynı işlemi uygularsınız. Bu kez sayılar eşit (yani 2'nin bir faktör olduğunu biliyorsunuz) ve 10'a bölünebilir (yani 5 ve 10 her ikisi de faktördür), bu da işleri biraz daha kolaylaştırır. Süreci tekrar geçtikten sonra, 60 faktörünün şöyle olduğunu görmelisiniz: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60.
İki listeyi karşılaştırmak, 15'in 45 ve 60 en büyük ortak faktör olduğunu göstermektedir. Bu yöntem zaman alabilir, ancak basit ve her zaman işe yarayacak. Ayrıca hemen tespit edebileceğiniz herhangi bir yüksek ortak faktörle başlayabilir ve ardından her sayının daha yüksek faktörlerini arayabilirsiniz.
En Büyük Ortak Faktörü Bulma: İkinci Yöntem
İki sayı için GCF'yi bulmanın ikinci yöntemi, asal çarpanları kullanmaktır. Asal çarpanlara ayırma süreci, her faktörü bulmaktan biraz daha kolay ve daha yapılandırılmıştır. 42 ve 63 numaralı süreçten geçelim.
Asal çarpanlara ayırma işlemi, temelde sayıları yalnızca asal sayılarla bırakılana kadar düşürmeyi içerir. En küçük asalla (iki) başlamak ve oradan çalışmak en iyisidir. Öyleyse 42 için 2 × 21 = 42 olduğunu görmek kolaydır. O zaman 21'den itibaren çalışmak: 2 bir faktör mü? Hayır. 3 mü? Evet! 3 × 7 = 21 ve 3 ve 7 her ikisi de asal sayılardır. Bu, 42'nin asal çarpanlarının 2, 3 ve 7 olduğu anlamına gelir. İlk “mola”, 21'i 21'e almak için kullandı ve ikincisi bunu 3 ve 7'ye böldü. Bunu tüm faktörlerinizi çarparak ve kontrol ederek kontrol edebilirsiniz. orijinal numarayı alırsınız: 2 × 3 × 7 = 42.
63 için 2, bir faktör değildir, ancak 3, çünkü 3 × 21 = 63. Yine, 21, her ikisi de asal olan 3 ve 7'ye bölünür - yani asal faktörleri bilirsiniz! Kontrol etmek gerekirse 3 × 3 × 7 = 63 olduğunu göstermektedir.
En yüksek ortak faktörü, iki sayının ortak olan faktörlerine bakarak bulabilirsiniz. Bu durumda, 42, 2, 3 ve 7 ve 63, 3, 3 ve 7'dir. En yüksek ortak faktörü bulmak için, tüm ortak ana faktörleri birlikte çarpın. Bu durumda, 3 x 7 = 21, yani 21 en büyük 42 ve 63 ortak faktörüdür.
Önceki örnek de bu şekilde daha çabuk çözülebilir. 45, üçe bölünebilir (3 x 15 = 45) ve 15 de üçe bölünebilir (3 x 5 = 15) olduğundan, 45'in ana faktörleri 3, 3 ve 5'tir. 60 için, iki ile bölünebilir (2). × 30 = 60), 30, ikisi ile de bölünebilir (2 x 15 = 30), ve sonra 15, en büyük faktörler olarak üç ve beş olduğunu biliyoruz, 2, 2, 3 ve 5 bırakarak bıraktınız. İki listeyi karşılaştırırken, üç ve beş ortak ana faktörlerdir, bu nedenle en büyük ortak faktör 3 x 5 = 15'tir.
Üç veya daha fazla ortak ana faktör varsa, en büyük ortak faktörü bulmak için hepsini aynı şekilde çoğaltırsınız.
Ortak Faktörlerle Kesirleri Basitleştirme
Eğer 32/96 gibi bir kesir ile sunulduysanız, kesriyi basitleştirmenin bir yolunu bulamazsanız, bundan sonra gelen tüm hesaplamaları karmaşık hale getirebilir. En düşük 32 ve 96 ortak faktörü bulmak, daha basit bir kesir elde etmek için her ikisine bölünecek sayıyı söyleyecektir. Bu durumda:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Öyleyse 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
96 için işlem şunları verir:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
2 açık olmalı5 = 32 en yüksek ortak faktördür. Kesirin iki parçasını da 32'ye bölmek:
32/96 = 1/3
Ortak payda bulmak benzer bir işlemdir. 15/45 ve 40/60 bölümlerini eklemek zorunda olduğunuzu hayal edin. İlk örnekten 15'in 45 ve 60 en yüksek ortak faktör olduğunu biliyoruz, bu yüzden onları hemen 5/15 ve 10/15 olarak ifade edebiliriz. 3 × 5 = 15 olduğundan ve her iki sayı da beşe bölünebildiğinden, her iki kesimin her iki parçasını 1/3 ve 2/3 elde etmek için beşe bölebiliriz. Şimdi eklemek ve 15/45 + 40/60 = 1 olduğunu görmek çok daha kolay.